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深入浅出RSA加密算法编程实践

2013年1月16日 发表评论 阅读评论 686 人阅读    

  今天(2013年1月13日)上午看了《松本行弘的程序世界》这本书的第九章“整数和浮点小数”里面谈到了“RSA加密算法”,而且还给出了一个小小的编程实例,真是应了书上的那句话:“如果不用考虑效率,程序简单得有点让人失望”!以前也接触过RSA加密算法,感觉这个东西太神秘了,是数学家的事,和D瓜哥无关。但是,看了那个实现,让D瓜哥感觉这个东西实在太简单了,忍不住想写一篇文章分享一下。

  学过算法的朋友都知道,计算机中的算法其实就是数学运算。所以,再讲解RSA加密算法之前,有必要了解一下一些必备的数学知识。我们就从数学知识开始讲解。

必备数学知识

  RSA加密算法中,只用到素数、互质数、指数运算、模运算等几个简单的数学知识。所以,我们也需要了解这几个概念即可。

素数

  素数又称质数,指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数。这个概念,我们在上初中,甚至小学的时候都学过了,这里就不再过多解释了。

互质数

  百度百科上的解释是:公因数只有1的两个数,叫做互质数。;维基百科上的解释是:互质,又称互素。若N个整数的最大公因子是1,则称这N个整数互质。

  常见的互质数判断方法主要有以下几种:

  1. 两个不同的质数一定是互质数。例如,2与7、13与19。
  2. 一个质数,另一个不为它的倍数,这两个数为互质数。例如,3与10、5与 26。
  3. 相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
  4. 相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
  5. 较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
  6. 小数是质数,大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。
  7. 2和任何奇数是互质数。例如2和87。
  8. 1不是质数也不是合数,它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
  9. 辗转相除法。

指数运算

  指数运算又称乘方计算,计算结果称为幂。nm指将n自乘m次。把nm看作乘方的结果,叫做”n的m次幂”或”n的m次方”。其中,n称为“底数”,m称为“指数”。

模运算

  模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上,当两个整数除以同一个整数,若得相同余数,则二整数同余

  两个整数a,b,若它们除以正整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余,记作: a ≡ b (mod m);读作:a同余于bm,或者,ab关于模m同余。例如:26 ≡ 14 (mod 12)。

RSA加密算法

RSA加密算法简史

  RSA是1977年由罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

公钥与密钥的产生

  假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接收Bob的一条私人讯息。她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥

  1. 随意选择两个大的质数pqp不等于q,计算N=pq
  2. 根据欧拉函数,求得r = (p-1)(q-1)
  3. 选择一个小于 r 的整数 e,求得 e 关于模 r 的模反元素,命名为d。(模反元素存在,当且仅当e与r互质)
  4. p q 的记录销毁。

(N,e)是公钥,(N,d)是私钥。Alice将她的公钥(N,e)传给Bob,而将她的私钥(N,d)藏起来。

加密消息

  假设Bob想给Alice送一个消息m,他知道Alice产生的Ne。他使用起先与Alice约好的格式将m转换为一个小于N的整数n,比如他可以将每一个字转换为这个字的Unicode码,然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如他的信息非常长的话,他可以将这个信息分为几段,然后将每一段转换为n。用下面这个公式他可以将n加密为c

  ne ≡ c (mod N)

计算c并不复杂。Bob算出c后就可以将它传递给Alice。

解密消息

Alice得到Bob的消息c后就可以利用她的密钥d来解码。她可以用以下这个公式来将c转换为n

  cd ≡ n (mod N)

得到n后,她可以将原来的信息m重新复原。

解码的原理是:

  cd ≡ n e·d(mod N)

以及ed ≡ 1 (mod p-1)和ed ≡ 1 (mod q-1)。由费马小定理可证明(因为pq是质数)

  n e·d ≡ n (mod p)   和  n e·d ≡ n (mod q)

这说明(因为pq不同的质数,所以pq互质)

  n e·d ≡ n (mod pq)

签名消息

  RSA也可以用来为一个消息署名。假如甲想给乙传递一个署名的消息的话,那么她可以为她的消息计算一个散列值(Message digest),然后用她的密钥(private key)加密这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。这个消息只有用她的公钥才能被解密。乙获得这个消息后可以用甲的公钥解密这个散列值,然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。假如两者相符的话,那么他就可以知道发信人持有甲的密钥,以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。

编程实践

  下面,开始我们的重点环节:编程实践。在开始编程前,我们通过计算,来确定公钥和密钥。

计算公钥和密钥
  1. 假设p = 3、q = 11(p,q都是素数即可。),则N = pq = 33;
  2. r = (p-1)(q-1) = (3-1)(11-1) = 20;
  3. 根据模反元素的计算公式,我们可以得出,e·d ≡ 1 (mod 20),即e·d = 20n+1 (n为正整数);我们假设n=1,则e·d = 21。e、d为正整数,并且e与r互质,则e = 3,d = 7。(两个数交换一下也可以。)

  到这里,公钥和密钥已经确定。公钥为(N, e) = (33, 3),密钥为(N, d) = (33, 7)。

编程实现

  下面我们使用Java来实现一下加密和解密的过程。具体代码如下:


package com.diguage.security;

/**
 * RSA 加密算法及其测试
 * 
 * @author D瓜哥,http://www.diguage.com/
 * 
 */
public class RSA {

	/**
	 * RSA 加密算法——加密、解密都用这个函数
	 * 
	 * @param bigNum
	 * @param key
	 * @param msg
	 * @return
	 */
	public static long[] rsa(int bigNum, int key, long[] msg) {
		long[] result = new long[msg.length];

		for (int i = 0; i < msg.length; i++) {
			result[i] = Math.round(Math.pow(msg[i], key)) % bigNum;
		}

		return result;
	}

	/**
	 * 将数组打印到控制台
	 * 
	 * @param msg
	 */
	public static void printArray(long[] msg) {
		StringBuilder sb = new StringBuilder(16);
		sb.append("[");
		for (long l : msg) {
			sb.append(l + ",\t");
		}
		sb.delete(sb.lastIndexOf(","), //
				sb.lastIndexOf("\t") + 2).append("]");
		System.out.println(sb.toString());
	}

	/**
	 * main函数,即测试方法
	 * 
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		int bigNum = 33;
		int e = 3;
		int d = 7;

		long[] orig = { 7L, 13L, 17L, 24L }; // 明文
		System.out.print("明文:\t");
		printArray(orig);
		long[] encode = rsa(bigNum, e, orig); // 密文
		System.out.print("密文:\t");
		printArray(encode);
		long[] decode = rsa(bigNum, d, encode); // 解密
		System.out.print("解密后:\t");
		printArray(decode);
	}
}

  输出结果如下:

明文:	[7,	13,	17,	24]
密文:	[13,	19,	29,	30]
解密后:	[7,	13,	17,	24]

  从第一行和第三行来看,我们的RSA加密算法是完全可行的。

RSA加密算法的安全性

  当p和q是一个大素数的时候,从它们的积pq去分解因子p和q,这是一个公认的数学难题。然而,虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解,但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。

  1994年彼得·秀尔(Peter Shor)证明一台量子计算机可以在多项式时间内进行因数分解。假如量子计算机有朝一日可以成为一种可行的技术的话,那么秀尔的算法可以淘汰RSA和相关的衍生算法。(即依赖于分解大整数困难性的加密算法)

  另外,假如N的长度小于或等于256,那么用一台个人电脑在几个小时内就可以分解它的因子了。1999年,数百台电脑合作分解了一个512位长的N。1997年后开发的系统,用户应使用1024位密钥,证书认证机构应用2048位或以上。

RSA加密算法的缺点

  虽然RSA加密算法作为目前最优秀的公钥方案之一,在发表三十多年的时间里,经历了各种攻击的考验,逐渐为人们接受。但是,也不是说RSA没有任何缺点。由于没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度的等价性。所以,RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。在实践上,RSA也有一些缺点:

  1. 产生密钥很麻烦,受到素数产生技术的限制,因而难以做到一次一密;
  2. 分组长度太大,为保证安全性,n 至少也要 600 bits 以上,使运算代价很高,尤其是速度较慢,。

总结

  早在D瓜哥上大学的时候就听说了RSA加密算法。当时,想着世界知名的加密算法应该很复杂,就一直没有深入地了解过。但是,当瓜哥看到松本行弘讲解RSA加密算法时,惊讶地发现RSA加密算法竟然如此简单,惊讶到简直不敢相信,用笔演算过一遍之后,才发现确实如此。立马就有写一篇文章的冲动。后来,查资料,更深入地了解了这个算法。然后就有了这篇文章。

  从这个过程来看,其实很多时候很多问题很简单,只是我们被自己吓到了。也许,我们只需要拿出勇气试一试,我们就能成功。用乔丹的一句话结束文章:

I can accept failure, but I can’t accept not trying.

 

参考资料

  1. 百度百科中对“素数”的介绍
  2. 维基百科中对”素数”的介绍
  3. 百度百科中对“互质数”的介绍
  4. 维基百科中对“互质”的介绍
  5. 维基百科中对“RSA”的解释
  6. 维基百科中对“幂”的介绍
  7. 百度百科对“模运算”的介绍
  8. 危机百科中对“同余”的介绍
  9. RSA加密算法原理


作 者: D瓜哥,http://www.diguage.com/
原文链接:http://www.diguage.com/archives/91.html
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