算法模式：差分数组

D瓜哥

2025-02-26

Christopher Alexander 在《建筑的永恒之道》中说：“每一个模式描述了一个在我们周围不断重复发生的问题，以及该问题的解决方案的核心。这样，你就能一次又一次地使用该方案而不必做重复劳动。”受此影响，GoF 总结经验，写出了著名的《设计模式》。

在算法中，也有很多类似设计模式这样的解决方案。D瓜哥称其为“算法模式”。后面，慢慢写文章一一介绍一下。由浅及深，今天先来介绍最简单的一个模式：差分数组。

差分数组

差分数组：差分数组就是原始数组相邻元素之间的差。举例如下：

下标	0	1	2	3	4	5
原始数组	5	9	2	6	5	3
差分数组	5	4	-7	4	-1	-2

差分数组是从原始数组构造出来的一个辅助数组，表示相邻元素直接的差值。可用于解决需要对数组一个区间内同时做加减的操作。比如：随着公交站各个站台上下车，判断公交车是否超载。

LeetCode 370. 区间加法

LeetCode - 370. 区间加法

假设你有一个长度为 n 的数组，初始情况下所有的数字均为 0，你将会被给出 k 个更新的操作。

其中，每个操作会被表示为一个三元组：[startIndex, endIndex, inc]，表示需要将子数组 A[startIndex … endIndex]（含 startIndex 和 endIndex）增加 inc。

请你返回 k 次操作后的数组。

示例:

输入: length = 5, updates = [[1,3,2],[2,4,3],[0,2,-2]]
输出: [-2,0,3,5,3]

解释:

初始状态:
[0,0,0,0,0]

进行了操作 [1,3,2] 后的状态:
[0,2,2,2,0]

进行了操作 [2,4,3] 后的状态:
[0,2,5,5,3]

进行了操作 [0,2,-2] 后的状态:
[-2,0,3,5,3]

思路分析

构造差分数组，把变量记录在差分数组上进行打标，全部打标完成后，再从第二项开始逐项求与前一项的累加值。

/**
 * @author D瓜哥 · https://www.diguage.com
 * @since 2025-02-26 19:42:50
 */
public int[] getModifiedArray(int length, int[][] updates) {
  if (updates == null || updates.length == 0) {
    return new int[length];
  }
  // 数组元素初始即为 0，差值也是 0，则无需多余计算差分数组
  int[] diff = new int[length];

  for (int[] update : updates) {
    int start = update[0];
    int end = update[1];
    int val = update[2];
    diff[start] += val;
    if (end + 1 < diff.length) {
      diff[end + 1] -= val;
    }
  }

  for (int i = 1; i < length; i++) {
    diff[i] += diff[i - 1];
  }
  return diff;
}

LeetCode 1094. 拼车

LeetCode - 1094. 拼车

车上最初有 capacity 个空座位。车只能向一个方向行驶（也就是说，不允许掉头或改变方向）

给定整数 capacity 和一个数组 trips， trip[i] = [numPassengers, from, to] 表示第 i 次旅行有 numPassengers_i 乘客，接他们和放他们的位置分别是 from_i 和 to_i 。这些位置是从汽车的初始位置向东的公里数。

当且仅当你可以在所有给定的行程中接送所有乘客时，返回 true，否则请返回 false。

示例 1：

输入：trips = [[2,1,5],[3,3,7]], capacity = 4
输出：false

示例 2：

输入：trips = [[2,1,5],[3,3,7]], capacity = 5
输出：true

提示：

1 <= trips.length <= 1000
trips[i].length == 3
1 <= numPassengers_i+ <= 100+
0 <= from_i+ < to+_i+ <= 1000+
1 <= capacity <= 10⁵

思路分析

这也是一个很典型的差分数组问题。题目是否可以接送所有乘客，就是判断在接送过程中是否超载。发现超载则为否，没有发现超载则可以。

/**
 * @author D瓜哥 · https://www.diguage.com
 * @since 2024-07-05 15:01:49
 */
public boolean carPooling(int[][] trips, int capacity) {
  if (trips == null || trips.length == 0) {
    return true;
  }
  int length = Integer.MIN_VALUE;
  for (int[] trip : trips) {
    if (trip[0] > capacity) {
      return false;
    }
    length = Math.max(length, trip[2]);
  }
  // 差分数组
  int[] diff = new int[length + 1];
  for (int[] trip : trips) {
    int cap = trip[0];
    int start = trip[1];
    int end = trip[2];
    diff[start] += cap;
    if (diff[start] > capacity) {
      return false;
    }
    diff[end] -= cap;
  }
  for (int i = 1; i < diff.length; i++) {
    diff[i] += diff[i - 1];
    if (diff[i] > capacity) {
      return false;
    }
  }
  return true;
}